銘記星辰之下

負二項分配：與二項分配相同，F(X=x) ～ B(n,P)，x是 Binomial distribution 執行 n 次，證真跡象為P時，x的分布情況。    

當證真的機率為P(X)時，反覆執行伯努利試驗，直到觀察到指定證真次數的事件發生(或觀察到第r次證真的事件發生)，此時試驗前面失敗次數的分布為負二項分配所討論的機率分布情況，

比如，如果我們定義擲骰子隨機變量x值為x=6點時成功，所有x≠6點的其它點為證偽事件，這時指定證真次數出現3次（證真次數r=3），然後反覆擲骰子直到6點，此時非6點數字出現次數的概率分布即為負二項分布。稱為：F(X=x) ～ NB(r,P)(Negative binomial distribution）。

描述r取到實數值R的情況稱為帕斯卡分布（Pascal distribution)。

F ( K; r,P)≡ P r(k)=(X-1 / r-1) P^r (1-P)^X-r =(k+r-1 / r-1) P^r (1-P)^k for k=0，1，2，...。

總次數用X來表示，其中k是失敗的次數，r是成功的次數，p是事件成功的概率。

在負二項分布的概率質量函數中，由於k+r次伯努利試驗為獨立同分布，每個成功r次、失敗k次的事件的概率pr為(1 − p)總次數-成功次數=k失敗的次數。

由於第r次成功一定是最後一次試驗，所以應該轉化總次數減去最後一次試驗X-1在k+r-1次試驗中選擇r-1次成功，使用排列組合二項係數獲取所有可能的選擇數。

若給定第r 次的證真才停止，則前面進行X -1次試驗中，共有 r-1 次的證真Pr(X)，及有 X-r =K次的證假(1-P(X))，

關鍵點是用排列組合方式計算：在X -1次試驗中取 r-1 次的證真，將證真和證假的次數乘於相關機率後，可知其機率密度函數P(X=x)為：

C( 全部組合種，選擇幾種證真) X P(證真機率)^證真次數 +  C( 全部組合種，選擇幾種證假) X P(證假機率)^證假次數。

則若證真與證假機率相同時之機率密度函數經展開後簡化後為： 

F(k；r，P)≡Pr(X=x)=C(X-1，r-1) X P^r X (1-P)^X-r=k，for K∈{1,2,3,...}，期望值E(X)= r X (1-P / P)。

F(k；r，P)≡Pr(X=k)=C(k+r-1，r-1) X P^r X (1-P)^k，for K∈{1,2,3,...}，期望值E(X)= r X (1-P / P)。

幾何分佈是執行一數列之獨立的伯努力試驗，每次成功的機率為 P(X)，直至得到一次成功才停止，所需試驗次數的分佈。
幾何分布指的是以下兩種離散型中的一種：

在伯努利試驗中，得到一次成功所需要的試驗次數X。X的值域是{ 1, 2, 3, ... }
在得到第一次成功之前所經歷的失敗次數Y = X − 1。Y的值域是{ 0, 1, 2, 3, ... }

實際使用中指的是哪一個取決於慣例和使用方便。
這兩種分布不應該混淆。前一種形式（X的分布）經常被稱作shifted geometric distribution；但是，為了避免歧義，最好明確地說明取值范圍。

如果每次試驗的成功概率是p，那麼k次試驗中，第k次才得到成功的概率是，Pr(X=k)=P (1-P)^k-1 ，其中k = 1, 2, 3, ....上式描述的是取得一次成功所需要的試驗次數。

而另一種形式，也就是第一次成功之前所失敗的次數，可以寫為，Pr(X=k)=P (1-P)^k ，其中k = 0, 1, 2, 3, ....

兩種情況產生的序列都是幾何數列。這是幾何分布的名字來源。

常用計算於順序序列，取r=1，此負二項分布稱為Geom(P)幾何分布 = F(X=x) ～ NB(r,P)=NB(1,1-P)其函數f(k;1,P)=P (1-P)^k。K∈{1,2,3,...}，期望值=1/P，K∈{0,1,2,3,...}，期望值=1-P/P。

若隨機變量服從參數為P(X)的幾何分布，則記為 X ~ GE(P)。

以上理論依據-幾何分布-參考維基百科資料
https://zh.wikipedia.org/zh-tw/%E5%B9%BE%E4%BD%95%E5%88%86%E4%BD%88

以上理論依據-負二項式分布-參考維基百科資料
https://zh.wikipedia.org/zh-tw/%E8%B4%9F%E4%BA%8C%E9%A1%B9%E5%88%86%E5%B8%83

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