銘記星辰之下

以下書中筆記心得摘錄內容及例題來自四十年前的書為：發行時間於民國75年一月，修訂第二十版，由中興管理顧問公司發行，書名：品質管制與工廠統計一書，譯者：陳文哲(現任國立交通大學管理科學研究所專任教授)，黃清連(中國鋼鐵股份有限公司技術開發處長)。原著者為中井重行(早稻田大學工業經營科主任)，池澤辰夫(早稻田大學工學教授)。

以下是接續分類在排列與組合與機率的後續，因為性質關係，所以分類放在數學常識這裏。

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管制圖的原理：

在符合常態分布前篇常見到的曲線分布，x￣分配之標準差σx￣。σx￣=σ/√n ‧ FPC。當n>4的時候，σx￣=σ / >2，即表示樣本數在4以上時，σx￣=σ/√n之x￣之分配必近似常態分配。

若兩者相差不大，n/N＞1/10，須修正，σx￣=σ/√n X  FPC修正係數。(Finite Population Correction)

若兩者差距大，n/N≦1/10，則修正係數=(N-n/N-1)≒N/N≒1，σx￣=σ/√n X 1。

請注意σx￣(標準誤差)有三種型式考量樣本大小與群(母)體的推估方法。

偏倚區間=x￣(標準差)±(σx￣(標準誤差)X Z值（標準常態分佈Ｕ的某點的值)

以(μ，σ^2 / N)的常態分佈Ｕ的某點區間推定：x￣－σx￣ *Ｚ  ＜μ＜ x￣＋σx￣ *Ｚ 。

對數據分布來觀察，因為樣本數量N的存在，使得母(群)體平均值μ = 樣本平均值x￣(或μ =xbar-bar-)，這是一切的基礎與起源。

在一般之常態分布，因母(群)體平均值μ及母(群)體標準值σ值不同，F(x)(U常態分配機率函數)亦異，將μ=0及σ=1值帶入F(x)，變換式後，得到u=x-μ/σ，故成為f(u)=標準化的常態分配機率函數。

由：F(χ) = [ 1 / (σ(2 π)^1/2) ] exp{ -1[(χ-μ)^2] / 2σ^2}，

變成Ф(u) = [ 1 / (σ(2 π)^1/2) ] exp{ -1[(  u  )^2] / 2σ^2}。

u=χ-μ/σ，μ=0，σ=1，u=χ-0/1，u=χ。X→-∞∫X+∞ Ф(u) d(u)。

對機率曲線分布全域來講，會是：σ^2=[N Σ i=1] (Xi-μ)^2  / N。σ=√[N Σ i=1] (Xi-μ)^2  / N。

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這樣就有了管制圖的：μ±1σ=0.683。μ±2σ=0.955。μ±3σ=0.997。機率曲線範圍，由X→-∞∫X+∞總面積=1。

對曲線上的任一點μ值來講，它所在的位置是=σ^2 / N。因為母(群)體平均值μ = 樣本平均值x￣。

推導出：相同的x￣^2/N，依舊是機率曲線全範圍。

而後，我們專注於±域的右半部，∫X+∞這個部分。所以，整個曲線評估就會變成：σ/ √N 或是σx/ √n。

好了，定義完成：在符合常態分布前篇常見到的曲線分布，x￣分配之標準差σx￣。σx￣=σ/√n ‧ FPC。然後推導成Z(ε%)=x￣－μ / σx￣ =x￣－μ / σ / √n  

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但管制圖製作，其實已在前篇的期望值與估計母(群)體標準差σ那邊，為了估計母數的出現，而對趨勢曲線給予了c2與d2兩個依樣本n大小而異的變換係數。

樣本平均x￣分配之期望值E(x￣)=母(群)體平均值μ

樣本偏差平方和S分配之期望值E(S)=母(群)體標準差平方σ^2 ‧(n-1) (請參考分類排列與組合於機率後面幾篇)

樣本變異數S^2分配之期望值E(S^2)=母(群)體標準差平方σ^2 ‧(n-1/n) (請參考分類排列與組合於機率後面幾篇)

樣本標準差s分配之期望值E(s)=母(群)體標準差σ ‧ c2 。σ=E(s/c2)。(這各c2是相關係變數，是給平均值s管制圖用的)

樣本全距R分配之期望值E(R)(或R￣)=母(群)體標準差σ ‧ d2 。σ=E(R/d2)或σ=E(R￣/d2)。(這各d2是相關係變數，是給全距R管制圖用的)

σ=E(s/c2)跟σ=E(R/d2)這兩個係數與σ的關係確定，

在x1…之分配成為標準差σ時，其平均值x1￣...之分配標準差為：σx￣=σ/√n。

σx￣=σ/√n，3σ界限=3(σ/√n)。故管制界限=中心線±3σ=Xbar-bar-±3(σ/√n)。

還記得標準常態機率曲線時，樣本與母(群)體之關係嗎?σ可以導出Z(ε%)的μ±1σ=0.683。μ±2σ=0.955。μ±3σ=0.997。那σ/√n也同樣的以導出同樣的情況。

樣本的標準差全距：=x￣max-x￣min，以及前面所定義的以(R￣/d2)推定σ：σ=(R￣/d2)，這樣引入前面的管制界限=中心線±3σ。等同於：μ±3(σ/√n)，然後估計值約等於Xbar-bar-±3(R￣/d2√n)

管制界限=X-bar-bar±3(R￣/d2√n)。展開=X-bar-bar-±(3/d2√n)．R￣，然後把這個有d2的式子，定義個A2係數給它：(3/d2√n)=A2。所以管制界限=X-bar-bar±A2．R￣。

定義：(3/d2√n)=A2。(管制圖A2的由來)

同樣的方式，如果令估計用的那個機率曲線等同於σ的寬度，同樣依全距R的 方式，那寬度(w)=R/σ，推導σR=σw．σ=d3．(R￣/d2)。σR=(d3/d2)．R￣。

σR=(d3/d2)．R￣，再帶入：管制界限=μ±3σ。管制界限=μR±3σR。估計值約等於R￣±3(d3/d2)R￣。將R￣提出式子變成能共乘的因子。(1+3(d3/d2))．R￣與(1-3(d3/d2))．R￣

定義：(1+3(d3/d2))．R￣=D4。(管制圖D4的由來)

定義：(1-3(d3/d2))．R￣=D3。(管制圖D3的由來)

所以一切的根源在於：σ^2=[N Σ i=1] (Xi-μ)^2  / N。σ=√[N Σ i=1] (Xi-μ)^2  / N。然後訂中心CL這個基準，因為對數據分布來觀察，因為樣本數量N的存在，使得母(群)體平均值μ = 樣本平均值x￣(或μ =xbar-bar-)，這是一切的基礎與起源。

μ是CL中心線。管制界限是：μ±3σ。這個的意思是指：在機率曲線分布中，1000個產品，有997個在μ±3σ內，其兩側各有1.5個，合計3個超出界線，可視為冒險率3%，為第一型錯誤，公司成本，此種並無異常原因，而急忙詩怡調查分析，使其公司蒙受損失的機會。

但若其管制界限太寬時(μ± >3σ)時，雖減少公司調查成本，但導致消費者成本增加，即異常數據可能含於該界限內，以致真正異常原因發生時，未及注意而受客訴大增的損失。
 

所以中心基準 d2這個期望值定義，d2=R￣/σ。

所以中心基準 c2這個期望值定義，c2=s/σ。

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製程之變動以組內變動+組間變動

x￣ - R (平均值與全域)管制圖

x￣ 管制圖：組間變動，例：在製程中，每小時抽取1個樣本，8小時共抽8個樣本，為x1+…+x8。

R 管制圖：組內變動，例：在製程中，每4小時抽一次，一次抽4個樣本，8小時共抽8個樣本，為x1+…+x8。

全變動=組組內變動+組間變動。

x￣ 管制圖之變動以變異數表示，則其全變動為：x￣ 之變異數 σx￣^2。

全變動σx￣^2=組內變異數 σw^2 / n + 組間變異數 σb^2。組內變異數係因樣本數n而異，故需 / n 表示。

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所謂x￣ - R (平均值與全域)管制圖同時顯示評估比對原因：

即是將組內變動分組使其成為偶然變動，以此判定組內變動與組間變凍間是否有顯著差異。

觀察兩個管制圖時，若發現其異常原因皆在某個組內發生，或組內變動異常於組間變動，過大或過小，即表示：此分組非為合理之分組，無法達到分離真正異常原因之目的。

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以下全是從網路上找來的知識：

https://www.researchmfg.com/2016/05/control-charts-factors/

管制圖管制界限與中心值之因子系數表，管制界限通常為：μ±3σ。3σ要變成2σ需要再*2/3。3σ要變成1σ需要再*1/3。

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http://ir.lib.cyut.edu.tw:8080/bitstream/310901800/33260/4/chapter%203.pdf

管制圖-計量值管制圖

x￣ - R (平均值與全域)管制圖

x￣ 管制圖

CL中心=xbar-bar-

管制界限=xbar-bar- ± A2 R￣ 

R 管制圖

CL中心= R￣ 

UCL=D4 R￣ 

LCL=D3 R￣ 

x￣ - s (平均值與標準差)管制圖

x￣管制圖

CL中心=xbar-bar-

管制界限=xbar-bar- ± A3 s￣ 

s 管制圖

CL中心= s￣ 

UCL=B4 s￣ 

LCL=B3 s￣ 

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管制圖-計數值管制圖

p(不良率管制圖)

pn(不良數管制圖)

c(缺點數管制圖)

u(每單位缺點數管制圖)

p(不良率管制圖)

E(X)=np，Var(X)=np(1-p)，X為須符合二項式分配之隨機變數。

p=r(樣品中不良品數)/n(樣本總數)

CL平均不良率p￣ =Σr(各組樣品中不良品數之總和)/Σn(各組樣本數之總和)

標準化管制界限= p￣ ±  3 ．√ ( (p￣(1-p￣) ) / n ) 

變動管制界限= p￣ ±  3 ．√ ( (p￣(1-p￣) ) / ni ) 

pn(不良數管制圖)

CL平均不良率np￣  =n． Σr(各組樣品中不良品數之總和)/Σn(各組樣本數之總和)

標準化管制界限= np￣ ±  3 ．√ ( (np￣(1-p￣) ) 

c(缺點數管制圖)

c￣ =Σr(各組樣品中缺點數之總和)/Σn(各組樣本數之總和)

CL平均缺點數率c￣ =Σr(各組樣品中缺點數之總和)/Σn(各組樣本數之總和)

標準化管制界限= c￣ ±  3 ．√ (  c￣ ) 

u(每單位缺點數管制圖)

f(X=x)= c^x e^-c /x! ，μ=σ^2=c。

u=c/n

u￣=Σc(各組樣品中每單位缺點數之總和)/Σn(各組樣本數之總和)

CL平均缺點數率u￣ =Σc(各組樣品中每單位缺點數之總和)/Σn(各組樣本數之總和)

標準化管制界限= u￣ ±  3 ．√ (  u￣ / n )。= u￣ ±  3 ．(√ (  u￣)) ．(√(1 / n ))。