銘記星辰之下

卡方分布是gamma函數生成，θ則為1/λ時卜式機率，其源頭是排列組合的二項分布機率，引導的常態分佈機率。   

回顧一下變異數=σ^2，及標準誤差=σx￣，Z^2=(x￣  -  μ)^2  /    σ^2。Z ε%=  x￣  -  μ  /    σx￣。

假若由群體中抽n個樣本，並把每一個樣本xi帶入，求其總和：      

[nΣi=1]  Zi^2 =[nΣi] (x  -  μ)^2 /σ^2 。= [Σ (xi  -  μ)^2 )] / σ^2=標準常態的Z值的平方。      

上式若用卡方分布 χ2 (n)= (Σ (xi  -  μ)^2 )/σ^2=以自由度為n的標準常態的Z值的平方。或χ2 (n-1)= ΣZi^2 = [Σ (xi  -  x￣)^2 )] / σ^2  

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當α=v/2，β=2，帶入Garment分配的期望值E(x)=自由度V，變異數Var(x)=2自由度V

變異數(自由度)愈多，看卡方分配機率圖自由度=30，則越趨近於常態分布：
(一)所有的變項為類別變項(categorical variable)
(二)樣本須為獨立變項(Independent variable)→第一組的樣本不影響第二組的樣本；第二組的樣本也不影響第一組。
(三)每一檢定分組項目內的數據應該設為頻率或計數數目，而不是百分比或是經過轉換之數據。
(四)至少有80%以上的分組項目，其樣本數大於5，亦即樣本數目至少要為細格數目的五倍，避免產生計算式分母的誤判。

Σxij ^2 (變異值)=χ2 =(O-E)^2  /  E ，E=群體，O=樣本。χ2 =n {[rΣi=1][cΣj=1] aij^2 /Ri Cj}-1                                                             

關心的是fo(x)-fe(x)=H0，來評判H1差異多少顯著性。                                                         

其自由度為：(r −1)× (c −1)，行列分組數目。                                                          

自由度Φ=(COUNTA(r_cell:r_cell)-1)*(COUNTA(c_cell:c_cell)-1)                                                        

求卡方分配的右尾顯著性機率%P值=CHISQ.DIST.RT(卡方值,自由度)，

求卡方分配的左尾顯著性機率%P值，從0～+∞P值=CHISQ.DIST(卡方值,自由度,1跟0的差別可參考前面章節常態分布機率的講解)。

或反求卡方分配的左尾機率反傳卡方值=CHISQ.INV(1-α%機率一般是用0.95,自由度)

或反求卡方分配的右尾機率反傳卡方值=CHISQ.INV.RT(α%機率一般是用0.05,自由度)

表示自觀察值與期望之差異之總和，若差異越大則表示兩變數之間越有關聯性，越容易顯著。

χ2 為0：H0， χ2 不為0：H1。χ2 越趨近0即H0愈顯著。                                                             

卡方值差異愈大表示：由在H0的證真假設下，計算卡方值的計算公式可知，卡方值χ2值愈小，O觀察值與多個E期望值間差異愈小，即是表示互相間變異數差異越小，當兩個互減=0時，O為觀察值與E為期望值完全一致時，χ2值為0。

反之，當χ2當大時，其累積分布函數機率越趨近1.00，即表明O觀察值與多個E期望值間有明顯差異，遠離H0初始主張假設。

以數學式：χ2 =0≡H0， χ2 ≠0≡H1。χ2 →0即H0愈顯著 ，χ2 與χα^ 2差愈大，χ2 →1則H1愈顯著。

如果χ2值“小”，研究者就傾向於不拒絕H0；如果χ2值大，就傾向於拒絕H0。

適用性檢定：                                                               

χ2 (n-1)=[nΣi=1] (Oi - Ei)^2  / Ei，上式中，實測值為Oi，期望次數為Ei ，自由度為(n −1)之卡方分布。                     

例題：有三種治療某病症的藥劑，分別給受試者使用後如下表，請問這三種治療某病症的藥劑，有無差異。                                          

┌───┬─┬─┬─┬──┐

│藥劑名│ A│ B│ C│總和│

│有改善│48│56│34│138 │

│無改善│32│30│58│120 │

│總和數│80│86│92│258 │

計算E期望值：                           

期望值的計算是以行與列交乘值除以總數(Total)，

例如：[(A+B+C)*(有改善+無改善)]/Total為A Cell之期望值。

藥劑A有改善的期望：E=(138*80)/258=42.7906      

藥劑B有改善的期望：E=(138*86)/258=46.0000

藥劑C有改善的期望：E=(138*92)/258=49.2093

藥劑A無改善的期望：E=(120*80)/258=37.2093      

藥劑B無改善的期望：E=(120*86)/258=40.0000

藥劑C無改善的期望：E=(120*92)/258=42.7906

計算卡方值：

χ2為每一分組項目之卡方值，O為觀察值，E為期望值，使用χ2 = Σ (O－E)^2  /  E ，計算變異值。

(48－42.7906)^2/42.7906=0.6341+

(56－46.0000)^2/46.0000=2.1739+

(34－49.2093)^2/49.2093=4.7007+

(32－37.2093)^2/37.2093=0.7293+

(30－40.0000)^2/40.0000=2.5000+

(58－42.7906)^2/42.7906=5.4059+

上述用SUM()加總=16.144 =χ2變異值。

這次檢定的自由度Φ=(3-1)X(2-1)=2=自由度Φ

或反求卡方分配的左尾機率反傳卡方值=

=CHISQ.INV(顯著性機率一般是用0.95,自由度)，卡方值愈小，相似性愈高

或反求卡方分配的右尾機率反傳卡方值=

=CHISQ.INV.RT(相似性機率一般是用0.05,自由度)，卡方值愈小，相似性愈高

由結果可知，當自由度為2，其設置α顯著性為1-0.05=0.95，卡方值為5.991，

χ2   ＞χα^ 2 →16.144  ＞ 5.991 ，H０初始主張：三種治療骨質酥鬆症的藥劑沒有差異，H１拒絕初始主張：三種治療骨質酥鬆症的藥劑有差異。

因χ2   ＞χα^ 2 →16.144  ＞ 5.991，所以此次檢定χ2 其變異差異性大於χα^ 2時設置的檢定直值：拒絕H０，接受 H１，所以三種治療骨質酥鬆症的藥劑有差異的，但因α設置0.05，故是犯第一類型錯誤（type I error）的機率可能有5%。                                                               

關心的是fo(x)-fe(x)=H0，來評判H1差異多少顯著性。                 

求顯著性機率%：卡方分配的左尾機率值從0～+∞               

=CHISQ.DIST(卡方值,自由度,1跟0的差別可參考前面章節常態分布機率的講解)               

Σ[fo-fe^2]/fe=χ2 =0.1=變異為0.1=1-α%4.877%=α%為95.123%

Σ[fo-fe^2]/fe=χ2 =5.991=變異為5.991=1-α%94.999%=α%為5.001%

Σ[fo-fe^2]/fe=χ2 =16.144=變異為16.144=1-α%99.969%=α%為0.031%

Σ[fo-fe^2]/fe=χ2 =24=變異為24=1-α%=99.999%=α%為0.001%

統計推算後的差異性99.969%是否有大於預設主張的94.999%，若有，則表示統計推算後，其此次檢定是有差異性的。

那看來是有大於4.97%的情況，所以，可以用數學推導檢定的依據方式：表明三種治療某病症的藥劑有差異的。